Jurister borde plugga matte

Det är möjligt för en människa att samtidigt ha två ömsesidigt uteslutande uppfattningar. Detta kan bero på att man aldrig funderat på de båda uppfattningarnas relevans för varandra. Fortfarande efter gymnasiet var jag övertygad om att samhällsfrågor och politik var viktigt för mänskligheten, och att det var genom detta man kunde påverka vår värld. Samtidigt trodde jag inte att matematik var särskilt relevant för samhällsfrågor, utan bara för att bygga broar, motorer och liknande. Jag drog aldrig kopplingen att matematik är viktigt för ekonomi, som är viktigt för samhället. Kanske är det ett liknande tankehopp de ansvariga på Sveriges juristprogram har gjort. De har nämligen bestämt att matematik inte ska vara en del av undervisningen – för inte har väl matematik något med juridik att göra?

Självklart kan inte jurister vara experter inom alla områden. Det är omöjligt att kräva expertkunskap inom alla ämnen som kan vara relevanta för brottsfall. Just därför kallas experter också ibland in till rättssalarna. Men frågan är om inte jurister, som arbetar med sannolikheterna för att en misstänkt är skyldig, åtminstone borde få en grundläggande utbildning i sannolikhetslära? En jurist måste visserligen ha gått ut gymnasiet, men enligt en snabbkoll på olika universitets hemsidor, krävs inga matematiska förkunskaper, och efter att ha mejlat runt till olika universitet har jag fått bekräftat att svenska juristprogram inte lär ut grundläggande sannolikhetslära. Frågan man då måste ställa sig är om en människas intuitioner gällande sannolikheter är någorlunda bra. Om svaret är ja, är det kanske inte så stort problem att juristerna inte får en extrautbildning i sannolikhetslära. Så jag testar läsaren med några korta exempel. I fotnoterna finns eventuella uträkningar för den som vill kolla på vad de riktiga svaren beror på.

a) Har O.J. Simpson mördat sin fru?
O.J. Simpson hade misshandlat sin fru upprepade gånger, så åklagaren menade att sannolikheten för att han också mördat henne var hög. Försvaret hävdade att detta var irrelevant för rättegången mot Simpson, eftersom det går 2500 misshandlade kvinnor på varje mördad kvinna. Vem har rätt?

Svar: Åklagaren har rätt. Sannolikheten som vi är ute efter är inte sannolikheten för att en man mördar sin hustru givet att han misshandlat henne, utan sannolikheten för att en man mördar sin hustru givet att han misshandlat henne och att hon hittats mördad. Tog man detta i åtanke, visade det sig att maken statistiskt sett var skyldig till mord i 90% av fallen där frun blivit både misshandlad och mördad.

b) DNA-mannen
DNA från en brottsplats matchar mot DNA från en man i en pool av 20.000 personer. Sannolikheten för att hans DNA stämmer överens med någon annan än gärningsmannen är en på 10.000. Är mannen vars DNA matchade skyldig?

Svar: Sannolikheten att det ska bli en match i poolen är inte 1 på 10.000, utan 86%. Därför är testets utfall inte tillräckligt för att bevisa den misstänktes skuld.1

c) Har du HIV?
Du går och testar dig för HIV. Testet har en exakthet på 99%. Dvs. 99% av alla som har HIV får positivt utslag, och 99% av alla som inte har HIV får negativt utslag. Vi vet också att 0,1% av befolkningen har viruset. Det visar sig att testet visar positivt för dig. Vad är sannolikheten för att du verkligen är smittad?

Svar: Sannolikheten är inte 99%, utan bara drygt 9%. Till drygt 90% är du alltså inte smittad.2 Svaret är alltså: nej du har förmodligen inte HIV. Läkare måste alltså också vara noga med sannolikhetsläran, så att de inte hamnar här.

Intuitionen suger
Vår medfödda intuition för statistisk sannolikhet suger. Evolutionen tycks inte ha belönat statistiskt tänkande, utan snarare gett oss en känsla för att det värsta scenariot alltid är mest troligt. Det är måhända en bra överlevnadstaktik i djungeln, men en klen tröst om man sitter som oskyldigt anklagad i en rättegång. Detta bristfälliga statistiska tänkande inom rättssystemet har faktiskt ärats med en egen term, ”prosecutor’s fallacy”, vilket helt enkelt betyder att en åklagare med felaktig statistisk analys blir övertygad om den misstänktes skuld. Som anekdot från verkligheten drar jag till med en riktigt ruggig historia. I Storbritannien dömdes 1999 Sally Clark för att ha mördat sina två söner. Hon hade fött två söner och båda hade dött tidigt på liknande sätt. En pediatriker hade matematiskt räknat ut att sannolikheten för att dödsfallen var naturliga, och Clark därför oskyldig, till en på 73 miljoner. I sin uträkning hade han multiplicerat sannolikheten för dessa ovanliga händelser (naturlig spädbarnsdöd hos en välbärgad familj) med varandra. Clark satt tre år i fängelse, innan hon blev friad. Var det då denna en på 73 miljoner som hade inträffat? Nej. Det visade sig att pediatrikern (alltså inte en matematiker), och hela rättssystemet, inte förstod matematiken för hur man beräknar sådan sannolikhet. I själva verket hade Clark inte alls begått morden utan hade fött två barn som faktiskt plötsligt dog. Hon satt tre år i fängelse innan hon frigavs. Efter den hårda tiden fick hon psykiska men och dog av alkoholförgiftning 2007. Smaka på den.

Vad hade då pediatrikern gjort för fel? Jo, när man multiplicerar sannolikheter med varandra gör man också antagandet att sannolikheterna är statistiskt oberoende av varandra, som när man kastar tärningar efter varandra. Om så var fallet vet man dock inte: det kan ha funnits okända genetiska anlag för den sjukdom barnen fick och dog av. Dessutom kan man inte bara sätta likhetstecken mellan sannolikheten för barnens död av naturliga orsaker å ena sidan, och Clarks oskyldighet å andra sidan. Dubbelmord av spädbarn är faktiskt ännu ovanligare än att två spädbarn dör naturligt, så detta måste man också ta med i beräkningen. Brittiska Royal Statistical Society protesterade mot domen och menade att det inte alls fanns statistisk grund att döma Clark. Tack vare detta blev det resning och Clark frigavs som sagt. Tyvärr hade redan så pass stora skador skett att hon inte fick ha ett bra liv efter detta.

Varför utbildas inte jurister inom sannolikhetslära? Trotsallt arbetar de ju med sannolikheter: sannolikheterna för misstänktas skuld.

Frågan om juristers matematiska kunskaper har kommit lite på tapeten i Sverige sedan Göran Lambertz publicerade sin bok Quickologi. Göran Lambertz är justitieråd i Högsta domstolen, och före detta justitiekansler. Han är en av de relativt få som ifrågasätter att Thomas Quick (numera Sture Bergwall)  är oskyldig, och hävdar att skandalen istället ligger i att han fick resning för de mord han dömdes för. Om detta handlar hans bok, i vilken han försökt sig på att matematiskt räkna ut sannolikheten för att Quick var skyldig till olika mord och försvinnanden. Tyvärr har han använt sig av en helt felaktig metod, där han värderar påståenden som talar för och emot Quicks skuld i procent, för att sedan addera ihop de förstnämnda och subtrahera de sistnämnda. Men om man tar 101 omständigheter som var och en värderas med en procent, blir sannolikheten med denna metod 101%. Mycket riktigt kommer Lambertz fram till att sannolikheten för att Quick är skyldig till något av morden är långt över hundra procent. Sannolikheten att Quick är skyldig till Therese Johanessons försvinnande beräknar han till 110% sannolikhet. En sannolikhet kan dock inte vara över hundra procent, och sannolikhetsvärden låter sig inte adderas eller subtraheras på det sättet. Lambertz skriver i boken att han förstår att han kommer bli kritiserad för sina uträkningar, men att han ändå vill göra ett försök. Han blev också väldigt kritiserad, bl.a. av matematikprofessorn Olle Häggström här och här, och har ändrat sin uträkning och har nu istället antagit Bayes sats för att göra sina uträkningar. Denna metod är i sig korrekt, men problemet är att den data man matar in i uträkningen måste vara korrekt om inte svaren ska bli gravt godtyckliga. I sin bok nämner Lambertz exempelvis att en omständighet som talar för Quicks skuld, är att ”morden [är] ouppklarade, inga rejält misstänkta”, och värderar att denna omständighet gör att Quick till 15% sannolikhet är skyldig. Men det skulle i princip betyda att alla människor till 15% sannolikhet är skyldiga. Även en matematiskt korrekt formel ger naturligtvis missvisande resultat om värdena är felaktiga. Man kan verkligen fråga sig hur det kan komma sig att en sådan högt uppsatt jurist i Sverige är så dåligt skolad i matematik som han visat i sin bok och på sin blogg. Dock har Lambertz varit öppen med sina brister och öppen för att ändra sina uträkningar när felaktigheter påtalats, och det skulle vara intressant att höra vad han själv tänker kring juristers matematikkunskaper.

För frågan återstår: varför utbildas inte jurister inom sannolikhetslära? Trotsallt arbetar de ju med sannolikheter: sannolikheterna för misstänktas skuld. Kanske har det med samhällets allmänna matematikskräck att göra. Och säkert har det också att göra med den felaktiga uppfattningen att matematik inte har något att säga till om i juridiken eller för samhällsfrågor. Detta tycker jag är djupt problematiskt, eftersom människan har utrustats med en mycket dålig intuition för sannolikheter.


Fotnoter
1) Sannolikheten för en slumpmässig träff är en på tio tusen, så sannolikheten att inte ha en slumpmässig träff är 1 - 1/10.000. Eftersom det var tjugotusen personer i DNA-poolen, gångras denna siffra tjugotusen gånger, och det vi får gå är sannolikheten för att inte få en slumpmässig träff. Sannolikheten för att en slumpmässig träff blir då helt enkelt: 1 - {\left( {1 - 1/10.000} \right)^{20.000}} \approx 86\%

2) Enligt Bayes sats där P(A|B) betyder ”sannolikheten för A, givet B”: 
Våra värden:
P(positivt|HIV) = 0,99
P(positivt|ej{\text{ }}HIV) = 0,99
P(HIV) = 0,001
P(ej{\text{ }}HIV) = 1 - 0,001 = 0,999
P(positivt) = P(positivt|HIV)P(HIV) + P(positivt|ej{\text{ }}HIV)P(ej{\text{ }}HIV) = 0,01098
Uträkningen blir:
\frac{{P(positivt|HIV)P(HIV)}}{{P(positivt)}} \approx 0,09016
Anledningen för att ett mycket exakt test ger missvisande resultat är för att det är långt mycket mer osannolikt att man faktiskt har HIV, än att testet visar fel. Bara 0,1% av befolkningen hade HIV i vårt exempel, men felmarginalen var tio gånger större än så. 

Annonser

Kommentera

Fyll i dina uppgifter nedan eller klicka på en ikon för att logga in:

WordPress.com Logo

Du kommenterar med ditt WordPress.com-konto. Logga ut / Ändra )

Twitter-bild

Du kommenterar med ditt Twitter-konto. Logga ut / Ändra )

Facebook-foto

Du kommenterar med ditt Facebook-konto. Logga ut / Ändra )

Google+ photo

Du kommenterar med ditt Google+-konto. Logga ut / Ändra )

Ansluter till %s